柯召的数学人生：留学英伦，入校仅两月，为何博士论文就被通过？

文/青峰

图：青年时期的柯召，留学于英国曼彻斯特大学，时年27岁。

1935年秋，一位年轻的中国留学生被其导师、英国著名数学家莫德尔特地安排参加伦敦数学会，就其完成题为《关于表二次型为线性型平方和的问题》作学术报告。

在此之前，还从没有过一位来自中国的学者在英国这种级别的数学大会上登台报告自己的学术过。

所以，当一张东方面孔一经亮相，便引起了广泛的关注。

此时，英国著名数学家哈代也坐在台下聆听这位年轻人的演讲。

哈代是世界数学史上的一位奇人，他生前培养弟子不多。但是有两位东方弟子非常著名，一位是印度数学奇才天才的拉玛努金，另一位则是我国享誉全球的数学家华罗庚。

当哈代在台下静静地听完这位东方年轻人的学术报告后，很是激动，亲自跑上台去与年轻人握手，对他说：

“在我们的报告会上宣读论文的外国学者中，你是最年轻的一位。讲得很好，祝贺你！”

这位东方年轻人的导师莫德尔教授也十分激动，对他讲道：

“柯，你这这篇任文完全可以通过博士论文答辩了。按说，你现在就可以从曼彻斯特大学毕业，获得博士学位。不过，由于英国大学有严格的规定，攻读博士学位，最少也要修满两年，我才能授予你数学博士学位，请你能理解。”

于是这位中国年轻数学学者，又跟随莫德尔教授学习了两年，于1937年秋正式毕业，成为英国曼彻斯特大学第一位东方数学博士。

这位年轻人不是别人，正是日后四川大学数学系的创始人、我国著名理论数学家柯召先生。

这一年，柯召年仅27岁。

那么，柯召是如何走上数学人生之路的呢？他此后一生中在数学理论上有何贡献，以致被四川大学的师生们直至今天仍然爱戴？

要讲清楚柯召，这一切还得从他的少年时代说起。

图：1927年1月，厦门大学浙江同乡会欢送鲁迅先生赴粤，照片中前排右一为厦大算学系预科生柯召，时年17岁。

柯召，1910年出生于浙江温岭一个普通的工人家庭。其父是当地一家小布店的店员，母亲则是位家庭妇女。

由于柯召家中收入不多，加之还有一个弟弟与两个妹妹，所以一家人仅仅可以勉强温饱度日。

不过，在温岭当地，人们都普遍重视读书，十分注重孩子们的教育。

在柯召5岁时，便被其父送到了当地宗文高等小学就读。

在小学念书时，柯召接触到了围棋，一下子被围棋中错综复杂的计算力所吸引。虽然没有名师指点，但对数学计算与生俱来的算力，让柯召很快便在一众同学中脱颖而出。

这也使得少年时的柯召对做数学有了浓厚的兴趣与吸引力。

在他看来，只要数学算力强大，便可以在围棋上抢得先机，提前预测棋局上的胜负。

当然了，围棋艺术十分深奥复杂，强大的计算力只是围棋棋局胜负的重要因素之一，并非全部。

如果少年时的柯召有名师指点，说不定日后会成为现代中国围棋史上的名手名家。

不过，人生的轨迹并没有把他带向围棋之路，而是由此引入了数学家的人生之路，且后来成就辉煌，终成一代数学宗师。

1922年时，时年12岁的柯召，以优异的成绩考入了浙江省立安定中学，即今天的杭州市第七中学。

安定中学在浙江十分有名，成立于1902年，即大清光绪二十八年。它是大清洋务运动时成立的较早的一批新式学堂。

在这所中学中先后走出了文坛巨匠茅盾、著名历史学家范文澜、漫画大师华君武、文学家兼翻译家的冯亦代等名人。

由于该校名师众多，教学环境得天独厚，进入该校的柯召可谓如鱼得水。

在这里柯召开始了其一生的数学之旅。

他在数学的王国中流连忘返，把古代数学典籍当作小说来阅读。

在别人看来，这些枯燥晦涩的数学古籍远没有民国时代的言情小说好看，可是柯召却能读得津津有味，入而忘忧。

每逢学校假日时，别的同学要么回家去了，要么出外旅行去了，只有柯召一人留下在宿舍把数学书当小说一样去阅读。

1926年，时年16岁的柯召以优异的成绩从杭州安定中学毕业后，随即考入了厦门大学科。

两年后，柯召升入厦门大学数学系。

在当时，厦门大学的数学系组建成立的时间并不长，师资力量也并不强，那为什么极具数学天赋的柯召要选择厦门大学数学系呢？

这就不得不提到我国近现代数学史上大名鼎鼎的姜立夫先生了。

图：我国近现代数学先驱姜立夫(1890年~1978年)

姜立夫，1890年生，浙江平阳县人，他是我国现代数学的先驱之一。姜立夫是我国历史上获得数学博士的第二人(注：第一位数学博士是1917年毕业于哈佛大学研究院的胡明复)。他一生先后任教于清华大学、西南联大，浙江大学、中山大学，曾培养了许多著名的学生弟子，如陈省身、华罗庚、吴大任、段学复、吴大任、孙本旺等人。

姜立夫于1919年在哈佛大学取得数学博士学位后，不久回国任教于南开大学。

到了1928年，厦门大学创始人陈嘉庚先生通过各种关系，花重金聘请姜立夫来厦门大学任教并主持厦大数学系。姜立夫答应了下来。

可是，到了1928年，由于情况的变化，至使姜立夫先生并没来厦门大学，而是去了才组织数学研究院不久的清华大学。

就这样，柯召追随姜立夫先生学习数学的计划落空了。

然而幸运的是，柯召有幸遇上刚刚学成归国的杨武之教授。

杨武之教授的出现，改变了柯召一生的命运。

图：杨武之教授(1896年~1973年)，华罗庚与柯召的授业恩之一。

杨武之，生于1896年，安徽合肥人，数学家、教育家。他是我国早期在西方国家获得博士学位的前几人，也是诺贝物理学奖得主杨振宁先生的父亲。

1928年，杨武之从美国芝加哥大学获得数学博士学位归国后，第一站便是在厦门大学任数学系教授。

正是这一年，时年18岁的柯召成为了杨武之教授的学生弟子。

杨武之先生只在厦门大学任教了一年多，便被清华大学数研究院聘请过去了。

不过，在厦门大学短短的一年多，柯召的数学天赋给杨武之先生留下了深刻印像。

所以，当杨武之先生受聘去清华大学数学研究院后，杨武之建议柯召转校去清华大学数系学习。

在经过一系列考核测试后，柯召顺利通过了清华大学的入学考试，计划从厦门大学转入清华大学数学系。

当时，清华大学的校长为著名教育家梅贻琦先生，他长袖善舞，以极大的气魄网罗天下英才。清华数学系几乎括囊了当时中国一大半的数学大伽，如熊庆来、孙光远、杨武之、郑桐苏等人，即便数学研究院与数学系的学生中，也有日后名震数学界的大数学家陈省身、华罗庚、吴大任、许宝碌等人。

1931年，柯召为了筹措学费，他浙江一所中学教书了一年，才于次年正式转学入清华大学数学系学习。

在清华大学期间，一向爱才惜的熊庆来先生为了使柯召安心学习，不为生活生计发愁，特地给他安排了一份业余工作——让其给低年级的学生批改微积分作业，每月报酬20元大洋。

这份收入在当时那个年代，已经很不低了，比一个中学老师的月收入还高。

当时的清华每月伙食费才5元大洋，柯召一个月下来还可以节省下15元。

免除了生活费学费担忧的柯召，得以在清华园度过了两年纯粹研究数学的学习岁月。

由于柯召在厦门大学时已经是杨武之先生的学生，到了清华园后，师生二人关系更进一步。

杨武之先生除了在学业上对柯召精心培育指导外，由于二人都喜欢围棋，于是师生二人在休息之余经常一起下围棋调剂生活。

那时的杨振宁还只有10岁左右，常常站在一旁观看父亲与柯召在棋盘上撕杀。

这一记忆对日后成名的杨振宁印象十分深刻，以至多年后杨振宁柯召二人见面时杨还能回忆当时的情景。

图：上世纪90年代，杨振宁与柯召的合影。

1933年夏，柯召从清华大学数学系毕业，经陈省身介召给自己的恩师姜立夫，柯召随即去了南开大学数学系，成了南开大学数学系主任姜立夫先生的助手。

在南开大学任数学助教的两年，柯召干得十分出色，让姜立夫教授深为满意。

两年后，柯召获得了去欧洲深造的机会。

图：英国留学读博时的柯召

1935年，他考上了中英庚款的公费留学生资格。本来国内是要他去英国剑桥大学学习，而且在他之前先期一步的华罗庚已经到了英国剑桥大学，投在著名数学家哈代的门下深造。

可是，柯召本人坚持要去曼彻斯特大学，因为他认为那里的教授更适合他的研究方向。

1935年秋，柯召作为公派留学生来到了英国曼彻斯特大学，师从著名数学家莫德尔。

图：英国著名数学家莫德尔教授(左)

莫德尔(M.F.V Mordell)是英国著名数论学家，生于1887年美国费城，后举家迁移至英国伦敦。他一生先后在世界各地近80所著名大学任过教。其在近代代数数论与解析数论方面有开创性贡献，他提出的“莫德尔不等式”是数论研究中的经典工具，直到今天仍被广泛引用。

柯召去英国留学时，莫德尔时年48岁，正是一位数学家的黄金岁月。作为学术上高产的数学家，莫德尔一生活了77岁，直到1964年才逝世。

入学时，莫德尔教授考问了柯召一些基本问题。柯召据实回答后，并把自己在清华大学毕业时的论文给他看。

莫德尔看后很是满意，表示柯召在此学习两年便毕业，获得博士学位。

在当时英国，外国留学生攻读英国博士学会，一般都是三年，只有极少数特别优异者才可由其导师特许两年即可毕业。

入学后的第一周，莫德尔教授为了进一步考察这位从东方来的学生，特地给柯召出了一道题，让柯召研究，两周后再去找他。

柯召不敢怠慢，专心至致地琢磨了整整两周，可是仍然毫无头绪，找不到解决的办法。

然而，两周的时间到了，柯召只好硬着头皮去见老师，说没有找到解决的办法。

莫德尔教授听后，哈哈一笑道：

“这个问题我搞了三年都没有解决，年轻人也许会有新的想法。”

事后，柯召才得知这是数学史上一个有名的世纪性难题，名叫“闵可夫斯基猜测”。作为世界知名的解题高手，莫德尔用了3年时间也未攻克，可见其难度。

不过，莫德尔教授对这位东方来的年轻人显然是寄予了厚望。

好在柯名也没辜负老师的厚望。

仅仅两个月后，柯召便完成了一篇很有创见的研究论文。莫德尔看后评价甚高。于是就出现了本文开头的那一幕。

1937年秋，柯召以优异的成绩获得数学博士学位。

此后在导师莫德尔的一再挽留下，柯召又在曼彻斯特大学度过了一年，而且硕果累累。

在伦敦求学的三年，柯召在数论、二次型等数学前沿领域获得了一系列成果，并在《数论学报》《牛津数学季刊》《伦敦数学会》等著名刊物上发表了10多篇高质量的论文，为他赢得了“东方数学家”的声誉。

在莫德尔教授的弟子中，与柯召同时期的学生还有爱尔特希、德范波特、马勒等人，他们四人后来都成了著名的数学家。

由此可见，莫德尔教授教学方式品特，其培养的学生弟子质量之高。

1938年春，面对日本人的进一步入侵中国，柯召决心回国，以科学报效祖国。于是他再次向老师提出了辞行回国。

图：任四川大学校长时的柯召院士

1938年7月，柯召不顾师友们的一再挽留，毅然决然回到国内。其同窗好友爱尔特希对其依依不舍，从英国曼彻斯特一路送至伦敦海运码头。

此次二人分别，再相逢时已经是1961年。

回到国内后，柯召本来可以去西南联大任教，但他最后却选择了四川大学。

他没想到的是，他此后一生几乎是在四川大学度过，在川大执教近60载。

由于当时四川大学理学院的院长魏嗣銮博士也是西欧留洋学者，所以他不拘一格打破条条框框，大力聘请许多有成就的留学生来川大任教。

一时之间川大数学系蔚为壮观，李国平、吴大任、曾远荣等后来较有成就的数学家，此时都纷纷来到了四川大学。

此时的川大数学系初创不久，并没有固定的数学教材。这种没有“教材”的教学，却使得川大数学系迅速异军凸起，为中国后来培养了许多杰出的数学人才。

这其中的主要功臣之一，便是时年不30岁的青年数学家柯召。

1938年夏，由于战时需要，川大已经临时迁往了峨眉山地区。柯召将数学系一些师生组织起来，每周给出研究专题，集体研究，各自阐述研究心得，不分老师学生，均可畅所欲言。

在这种学术讨论氛围之下，川大数学系便出现了这样的场景：有时在听的学生站上讲台变成了先生，边写边讲，反驳老师的意见，而教师则和同学一起在台下静静地听讲，并不会觉得有什么不妥或尴尬。

正是这一奇特的教学方式，川大数学系很快在国内数学界的数论、组合数学、二次型性等学术领域名声雀起，发表了一系列有质量高水平的学术论文，引起了全国数学界的瞩目。由此四川大学数学系以建系不长而成中国数学界的重镇之一。

由于柯召在数学教学上的卓越贡献，1939年，时年29岁的柯召正式接任川大数学系主任，川大数学系开始走上全盛时期。

图：书房中的柯召与人交谈

新中国成立时，柯召已经39岁。

在全国性的院系调整中，柯召在重庆大学经过短暂的执教后又回到了四川大学数学系。

柯召抱着以科学报国的使命，在数学理论研究上，带领一批学生在矩阵代数、不定方程、二次型等数学领域作出了一系列研究成果。

为了早日让弟子学生们成才，他甘当人梯，为他铺路。他在为学生弟子们参与设定研究问题上，一旦快要出成绩时，自己就主动退出，让学生成为论文成果的第一撰写人，成绩与荣誉由学生们享有，他却置身事外。

柯召的这种人格风范，使得他赢得了学生们的极大爱戴。川大学生与柯召身边的年轻教师以能得到他的指点指导为荣。

在这些学生中，如张同、孙琦、陈重穆、陆文瑞等人，后来都成了著名学者或知名数学家，为新中国数学界的一代中坚力量。

柯召在培养学生的同时，他自己在数学数论领域也孜孜不倦，并结出了丰硕的成果。

早在1952年，柯召便就“卡特兰猜想”开始了深入研究。他持之以恒，十年如一日，终于在1962年获得国际领先的成果。

“卡特兰猜想”是1844年由比利时著名数学家卡特兰提出的一个关于数论的问题。

卡特兰指出：8和9是仅有的两个大于1的连续整数的正整数的乘幂。其核心内容如下图：

但是，这一猜想自1844年提出以来，一百多年来无数人为此倾尽毕生心血，最后都折戟沉沙，无功而返。

这一问题涉及素数分解、模运算等复杂的数学工具，对理解指数方程整数解的结构有重大意义。若能攻克它，将在数论研究领域具有里程碑式的非凡意义。

为了攻克这一猜想，柯召宁坐板凳十年冷，不叫学术一句空。

1961年春，柯召青年时代的同窗好友、同为莫德尔特教授的高足弟子的爱尔特希来中国访问。

二人从1938年自英国分别以来，已经有23年未曾见面了，虽然彼此偶有书信往来。

此次见面，二人都已人到中年。老友见面，分外高兴，整天有讲不完的话。

谈话间二人自然转入到了各自的数学领域及数学前沿话题。

柯召表示在“卡特兰猜想”的研究中已略有成果，但有几个关键的地方需要突破，请爱尔特希参与进来，将这一悬置了一个多世纪的数学难题一起拿下来。

在中国学术访问近半年后，爱尔特希带着好友的信任与深情后谊回到了英国。

保罗·爱尔特希，匈牙利人，1913年3月26日出生。青年时代留学英国，在曼彻斯特大学时，与柯召一起受教于著名数学家莫德尔特教授门下。他与柯召十分投缘，二人是同学，也是一生的挚友。

爱尔特希主要研究领域包括数论、组合数合和概率论。他一生在数学领域有多项突破性成果，并因在数论和组合数学领域的贡献而于1984年获得了世界数学最高奖之一的沃尔夫奖。

回到英国后，爱尔特希拉上英国数学家拉多，在这一组合论方面，沿着柯召的研究方向与成果，终于在1962年以精湛的技巧、创造性的思维解决了“卡特兰猜想”的二次情形，并由此获得一系列重要成果。

爱尔特希将这一成果发表于英国《数论学报》，引起了世界数学界的震动。这就是科学界被称为数论史上又一里程碑式的“爱尔特希—柯—拉多定理”。

由于该定理的大部分研究工作为我国数学家柯召独立完成，在世界数学界也常为誉为“柯氏定理”。

柯氏定理在研究不定方程中，是一个十分重要的数学工具，它开辟了极值集论迅速发展的道路，被数学文献上称之为“一条里程碑式的定理”。

四十年后，即2002年罗马尼亚数学家普雷达·米哈伊莱斯库最终证明“卡特兰猜想”，并将其升级为数学定理扫清了障碍，奠定了重要的基石。

柯召先生也因这一数学成就，成为了国际知名数学家。

对于柯召院士在50岁后还能取得如此辉煌的学术成就，他身边的师友、学生弟子既好奇也很是惊讶，问柯召先生有何秘诀？这些数学灵感从何而来？

为此，柯召以他十分喜欢的一首元代《咏梅诗》作答：

“终日寻春不见春，芒鞋踏破岭头云。归来偶把梅花嗅，春在枝头已十分。”

图：柯召1992年时，所书一首元代诗僧尼《咏梅诗》，从中亦可窥见柯召先生的书法也十分了得，深得米芾三味。

该诗颇具佛学禅理，道明了人生顿悟的重要性。

但是，如何才能顿悟，出现免起鹘落式的“灵感”呢？

诗中“踏遍”二字便是关键。

在这一点上，柯召在一生的学术研究中深有体会。

他曾对身边的学生弟子讲道：

“我的一些数学结果，是在晨起时，或者午睡醒来时偶然得出的。或者说，是突然得到的，似有灵感。这种情形，进行科学研究工作常能遇到。只要努力总会有收获。

“所谓灵感，则是‘踏遍’的结果。”

为了进一步说明灵感从何处而来，柯召先生又引用清代诗人袁枚的一首《遣兴》诗加以佐证：

“但肯寻诗便有诗，灵犀一点是吾师。夕阳芳草寻常物，解用都是绝妙词。”

他接着又耐心地解释道：

“诗中‘但肯’与‘解用’四字，颇令人玩味。但‘解用’要根植于‘但肯’二字之中。否则，便成了无源之水、无根之木。不肯下苦功夫，终将一事无成。”

当然，“踏遍”是需要恒心与毅力的，对于那些在学术上追求急于求成、奢求朝发夕至的人来说，无异于举手捕风，闻影嗅梅。

柯召先生一生中最喜欢的座右铭是荀子《劝学篇》中的一句名言：

“无冥冥之志者，无昭昭之明。无惛惛之事者，无赫赫之功。”

图：晚年时期的柯召

1990年4月，柯召先生从四川大学教学一线正式退了下来。

为了纪念柯台先生80大寿暨从事科学研究半个世纪，四川大学特地在《川大学报》出版发行了一期关于他的学术论文专辑。中外著名学者有38人为柯召先生撰文。这其中既有我国著名数学家王元、陈景润、万哲先等人，也有国外著名数学家爱尔特希、格雷厄姆等人。

这一切，都显示了柯召先生在国内外数学界的崇高声望。

退居教学一线后的柯召先生，仍然不忘关注数学前沿，发现新人，提携后起之秀。

退休后的柯召先生，除了继续研究数学，晚年他唯一的爱好，便是与师友们下上几局围棋。

这是他一生中少有的业余爱好，也是他与友人弟子们互动交流的主要方式之一。

图：四川大学望江新校区中的柯召院士全身铜像

2002年11月8日，一代数论大师、在数学上奋战了近70年的著名数学家柯召先生安详而逝，享年93岁。(全文终)

——青峰，2025年9月21日写毕于鄂西长江之滨巴东县城

由于休息时间的不连贯，此文断断续续写了近一周。尽管，此文全篇不过7000余字。

柯召先生与华罗庚先生同庚，且为同窗好友。在清华与英伦留学时，二人多有交集，感情甚笃。在学术研究领域，二人亦互有交集。

不过，在新中国建立后，华先生的学术与传奇人生，太过光芒万丈。很多与之同时代的数学家，或多或少都被其光芒所笼罩，以至于学术界之外一般的读者对数学家柯召了解不多。

笔者颇喜爱读自然科学人物史话，对科学家学术之外的人生奇事逸事多有兴趣。

近读数学史家白苏华所著《柯召传》，略有所得。

白苏华系柯召先生生前学生弟子，对老师柯召既有近距离观了解，又深得柯召先生生前信任。故他写柯召传，史料扎实可信，写作时裁剪有度。

不少珍贵的史料与往事，笔者青峰本人也是第一次了解，故撰就此文，以飨平台的读友们。

希望你们喜欢并关注“青峰人物志”，以期一同去发现近现代一些传奇的人物与有趣的灵魂。